モンティ・ホール問題(確率の罠)

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高橋洋一さんの本の中に確率に関する興味深い話があったので紹介してみたいと思います。

以下「~~~」は本の内容の要約です。

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・モンティー・ホール氏が司会を勤めるアメリカのゲームショー番組での話。

・プレーヤーの前に3つのドアがあり、うち1つのドアに景品が隠されており、プレーヤーはどれか1つのドアを選ぶ。

・司会者は正解を知っていて、プレーヤーがドアを選択後、残り2つのドアのうち、はずれのドアを開けて見せる。

・「残り2つのドアに景品があります。プレーヤーは選択するドアを変えることができますが、変えますか?」と聞く。
 
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ここで私ならば、変えてミスると後悔するから変えないと思いました。しかし、変えたほうが当たる確率が2倍に上がるというのです。

残り2つのドアのどちらかを選ぶかと同じで確率は2分の1同士で同じであり、ただ変えないという選択をしただけだと思ったのですが・・・

大いなる誤りでした。その論理は以下のとおりです。

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・例えば、A,B,Cのうち「A」を選んだとする。当たる確率は3分の1。外れる確率は3分の2となる。

・司会者が「Bははずれ」であると明かしたとする。当たりはAかCのうちどちらかである。

・このとき、最初に選んだAのままにしておくと、条件はそのままなので、当たる確率は3分の1のままである。

・Cに変えるとBの当選確率3分の1を吸収しており、当選確率は3分の2になる。要するにAのはずれ確率の3分の2がそのままCの当選確率となる。

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この問題について、アメリカでは大論争に発展したらしいのです。私にもどうも意味がわからなかったです。

しかし、ドアの数を100にした考え方で納得がいきました。

考え方はこうです。基本はドア3つと同じです。

・100のドアの中で1つだけ選択する。当たる確率は100分の1(ほぼ当たらない)。

・司会者がはずれの中から98のドアを開け、選択を変えるかどうか尋ねる。

・もともと自分が選んだものはほとんど当たる可能性がない(100分の1)のだから、残りの1つを選んだほうが当たる可能性が高い。

この場合、選択したドアを変えることで当たる確率は100分の1から100分の99となり、当たる確率は99倍になります。

3つのドアだと違いが小さいせいか、その差に気付きにくいのですが、100のドアだとわかりやすいですね。

それにしても確率についてはよくよく考えないと錯覚に陥るというか、罠にはまるというか、そのトリックに気付くのはとても難しいと感じました。株式投資やビジネスの世界にも通じるところがあるはずです。

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